Teorema: Idempotencia

Teorema: Idempotencia

 Sea P una proposición entonces 
    1. P ∨P ↔ P
    2. P ∧P ↔ P

Demostración [Prosa]


Por el axioma de idempotencia P∨P → P (1), mientras que por el axioma de idempotencia P → P ∨P (2), aplicando una conjunción entre las implicaciones (1) y (2) se tiene 

P ∨P → P ∧ P → P ∨P

En cuyo caso P ∨ P ↔ P por la definición de bicondicional y así se verifica el literal 1. Si se hace uso de lo que se acaba de demostrar respecto de la proposición ∼ P resulta ∼ P∨ ∼ P ↔∼ P (3); como el contrarrecíproco también se satisface con el bicondicional, entonces en (3) ∼ (∼ P) ↔∼ (∼ P∨∼ P), por la doble negación y la definición de conjunción P ↔ P ∧P, al utilizar de nuevo el teorema de equivalencia literal 2 se concluye que P ∧P ↔ P.