Teorema: Conmutatividad

Teorema: Conmutatividad

Sean P, Q proposiciones entonces

       1. P ∨Q ↔ Q∨P 
       2. P ∧Q ↔ Q∧P

Demostración [Prosa]

Por medio del axioma de conmutatividad se tiene que P ∨ Q → Q ∨ P y Q ∨ P → P ∨ Q, que por el teorema de conjunción se obtiene

P ∨ Q → Q ∨ P     ∧     Q ∨ P → P ∨ Q 

Con base en la definición de bicondicional se sigue que P∨Q ↔ Q∨P con esto se concluye la demostración del literal 1. Por el axioma de conmutatividad ∼ Q∨∼ P →∼ P∨∼ Q, que al aplicar el teorema del contrarrecíproco se tiene ∼ (∼ P∨∼ Q) →∼ (∼ Q∨∼ P) y así por la definición de conjunción resulta P ∧Q → Q∧P (1); un razonamiento análogo conduce a Q∧P → P ∧Q, que por conjunción con (1) se tiene 

P ∧Q → Q∧P ∧ Q∧P → P ∧Q 

De donde se concluye que P ∧Q ↔ Q∧P.