Teorema: Asociativa

Teorema: Asociativa 

Sean P, Q, R proposiciones entonces

     1. (P ∨Q)∨R ↔ P ∨(Q∨R) 
     2. (P ∧Q)∧R ↔ P ∧(Q∧R)

Demostración [Prosa]

Por el axioma de adjunción Q → Q∨R, que por el axioma de adición a la implicación se escribe P∨Q → P∨(Q∨R) (1). A su vez R → R∨Q que por la conmutatividad R → Q∨R, para lo que P ∨R → P ∨(Q∨R) (2). Como R → R∨P → P ∨R que al aplicar la transitividad con el condicional (2) resulta R → P ∨(Q∨R) (3); por el teorema de adición entre implicaciones en este caso entre (1) y (3) se obtiene (P∨Q)∨R → [P∨(Q∨R)]∨[P∨(Q∨R)] que por el teorema de idempotencia equivale a (P ∨Q)∨R → P ∨(Q∨R) (4).

Con base en el axioma de adjunción resulta que P → P ∨Q, como R → R por el medio excluido entonces al hacer uso de la adición entre implicaciones resulta P ∨R → (P ∨Q)∨ R (5). De igual manera Q → Q∨P → P ∨Q que al adicionarle la proposición R a ambos lados se tiene Q∨R → (P∨Q)∨R (6). Debido a que P → P∨R entonces por transitividad con la expresión (5) resulta P → (P ∨Q)∨R que al aplicar la adición entre implicación con (6) y la propiedad de idempotencia se concluye que P ∨(Q∨R) → (P ∨Q)∨R (7). Aplicando el teorema de conjunción entre (4) y (7) 

[(P ∨Q)∨R → P ∨(Q∨R)]∧[P ∨(Q∨R)→ (P ∨Q)∨R] 

Y así se concluye la propiedad asociativa para la disyunción P ∨(Q∨R) ↔ (P ∨Q)∨R. Para demostrar el literal 2 se sustituye P, Q y R por sus respectivas negaciones ∼ P, ∼ Q y ∼ R para tener (∼ P∨∼ Q)∨∼ R ↔∼ P∨(∼ Q∨∼ R); debido al teorema de equivalencia respecto del contrarrecíproco se obtiene 

∼ [∼ P ∨(∼ Q∨∼ R)] ↔∼ [(∼ P∨∼ Q)∨∼ R] 

Por medio de la ley de D’Morgan se sigue que

∼ (∼ P)∧∼ (∼ Q∨∼ R)↔∼ (∼ P∨∼ Q)∧∼ (∼ R) 

Una doble negación y de nuevo otra ley D’Morgan 

P∧∼ (∼ Q∨∼ R) ↔∼(∼ P∨∼ Q)∧R 

Por la definición de conjunción P ∧(Q∧R) ↔ (P ∧Q)∧R, y el teorema de equivalencia se concluye la propiedad asociativa para la conjunción (P ∧Q)∧R ↔ P ∧(Q∧R).