Teorema: Distributiva

Teorema: Distributiva 

Sean P, Q, R proposiciones entonces

     1. Conjunción respecto disjunción: P ∧(Q∨R)↔ (P ∧Q)∨(P ∧R) 
     2. Disjunción respecto conjunción: P ∨(Q∧R)↔ (P ∨Q)∧(P ∨R)
     3. Condicional respecto conjunción: [P → (Q∧R)] ↔ (P → Q)∧(P → R) 
     4. Condicional respecto disjunción: [P → (Q∨R)] ↔ (P → Q)∨(P → R)

Demostración [Prosa]

Por la propiedad del medio excluido y del axioma de adjunción se tienen las implicaciones P → P y Q → Q∨R, que por la adición entre implicaciones P ∧Q → P ∧(Q∨R) (1). Nuevamente se utiliza el axioma de adjunción R → R∨Q, donde se escribe R → Q∨R y por la adición entre implicaciones P ∧R → P ∧(Q∨R) (2). Haciendo uso de la adición entre implicaciones para los condicionales (1) y (2) resulta

 (P ∧Q)∨(P ∧R)→ [P ∧(Q∨R)]∨[P ∧(Q∨R)] 

Que por la propiedad de idempotencia se escribe (P∧Q)∨(P∧R) → P∧(Q∨R) (3). La siguiente proposición se justifica por el teorema de adición entre implicaciones

[(P →∼ Q)∧(P →∼ R)]→ [P ∧P →∼ Q∧∼ R] 

Por la propiedad de idempotencia resulta [(P →∼ Q)∧(P →∼ R)] → [P →∼ Q∧∼ R], a continuación se define los condicionales para tener

[(∼ P∨∼ Q)∧(∼ P∨∼R)] → [P →∼ Q∧∼ R] 

Cuyo contrarrecíproco es ∼ [P →∼ Q∧∼ R] →∼ [(∼ P∨∼ Q)∧(∼ P∨∼ R)] haciendo uso de la ley D’Morgan y de la definición de conjunción se escribe 

[P ∧(∼ (∼ Q)∨∼ (∼ R))]→ (P ∧Q)∨(P ∧R) 

Por doble negación se tiene el condicional [P ∧ (Q ∨ R)] → (P ∧ Q)∨ (P ∧ R) (4); por conjunción entre (3) y (4) se tiene 

{[P ∧(Q∨R)]→ (P ∧Q)∨(P ∧R)}∧{(P ∧Q)∨(P ∧R)→ P ∧(Q∨R)} 

Y la definición de bicondicional concluye que P ∧(Q∨R) ←→ (P ∧Q)∨(P ∧R). Para el literal 2 se hace uso del literal 1 donde cada proposición se cambia por la negación de la misma∼ P∧(∼ Q∨∼ R)←→ (∼ P∧∼ Q)∨(∼P∧∼ R) por el teorema de equivalencia el contrarrecíproco es equivalente ∼ [(∼ P∧∼ Q)∨(∼ P∧∼ R)] ←→∼ [∼ P ∧(∼ Q∨∼ R)], que por la propiedad de D’Morgan 

∼ (∼ P∧∼ Q)∧∼ (∼ P∧∼ R) ←→∼(∼ P)∨∼ (∼ Q∨∼ R)

De nuevo se aplica la propiedad de D’Morgan para lo que 

[∼ (∼ P)∨∼ (∼ Q)]∧[∼ (∼ P)∨∼ (∼ R)]←→∼ (∼ P)∨(Q∧R)

Por medio del teorema de doble negación resulta que (P ∨Q)∧(P ∨R) ←→ P ∨(Q∧R) que por el teorema de equivalencia se concluye P ∨(Q∧R)←→ (P ∨Q)∧(P ∨R).

Por la definición de condicional se tiene la equivalencia [P → (Q∧R)] ↔∼ P ∨(Q∧R), donde es posible aplicar la distributiva de la disjunción respecto de la conjunción para tener [P → (Q∧R)] ↔ (∼ P ∨Q)∧(∼ P ∨R) y así por la definición de condicional se concluye [P → (Q∧R)]↔ (P → Q)∧(P → R).

Por medio de la definición del condicional y de la propiedad de idempotencia aplicado a la proposición ∼ P se tiene [P → (Q∨R)] ↔∼ P ∨(Q∨R) ↔ (∼ P∨∼ P)∨(Q∨R), ahora bien, por los teorema de conmutatividad y asociatividad respecto de la disjunción resulta [P → (Q∨R)] ↔∼ P ∨(∼ P ∨Q)∨R ↔∼ P ∨(Q∨∼ P)∨R ↔ (∼ P ∨Q)∨(∼ P ∨R) Lo cual permite concluir que [P → (Q∨R)] ↔ (P → Q)∨(P → R).