Si P y Q son proposiciones verdaderas entonces P ^ Q es una proposición verdadera. En forma esquemática
P
Q
____________
P ^ Q
Demostración [Prosa]
Las hipótesis en este caso es que tanto P como Q son verdaderas. Por el teorema de doble negación se tiene que P →~ (~ P) es una proposición verdadera que por modus ponendo ponens con P resulta que ~ (~ P) es una proposición verdadera. Con base en el axioma de adjunción se sigue que ~ (~ P) →~ (~ P)v ~ Q y por modus ponendo ponens con ~ (~ P) se obtiene que ~ (~ P)v ~ Q es una proposición verdadera, que por la definición de condicional se escribe como ~ P →~Q (1).
Si al condicional obtenido en (1) se aplica el axioma de adición a la implicación (respecto de la proposición ~ Q) se logra ~Qv ~ P →~ Qv ~ Q (2); como ~ Qv ~ Q →~ Q (3) esto por el axioma de idempotencia, entonces al aplicar la transitividad entre los condicionales dados en (2) y (3) resulta ~ Qv ~ P → ~ Q (4) . Debido a que ~ Pv ~ Q →~ Qv ~ P esto por el axioma de conmutatividad entonces por el teorema de transitividad ~ Pv ~Q →~Q, que al aplicar la definición de condicional se tiene ~ (~ Pv ~ Q)v ~ Q (5)
La expresión (5) se puede escribir como ~ Qv ~ (~ Pv ~ Q) que por la definición de condicional Q →~ (~ Pv ~ Q), al ser Q una proposición verdadera entonces por un modus ponendo ponens se tiene que ~ (~ Pv ~ Q) es una proposición verdadera, con base en la definición de conjunción se concluye que P ^ Q es una proposición verdadera, siempre que P y Q sean verdaderas.
A partir del teorema de conjunción es posible obtener teoremas que hayan uso del bicondicional, ya que de acuerdo con la definición de este conector, P ↔ Q equivale a (P → Q) ^ (Q → P) y asì hacer uso de la regla de inferencia de sustitución. La primer consecuencia es que el teorema de doble negación se puede escribir en términos de un bicondicional.
La expresión (5) se puede escribir como ~ Qv ~ (~ Pv ~ Q) que por la definición de condicional Q →~ (~ Pv ~ Q), al ser Q una proposición verdadera entonces por un modus ponendo ponens se tiene que ~ (~ Pv ~ Q) es una proposición verdadera, con base en la definición de conjunción se concluye que P ^ Q es una proposición verdadera, siempre que P y Q sean verdaderas.
A partir del teorema de conjunción es posible obtener teoremas que hayan uso del bicondicional, ya que de acuerdo con la definición de este conector, P ↔ Q equivale a (P → Q) ^ (Q → P) y asì hacer uso de la regla de inferencia de sustitución. La primer consecuencia es que el teorema de doble negación se puede escribir en términos de un bicondicional.
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