Sean P y Q preposiciones entonces
(P → Q) ↔ (~ Q → ~ P)
es una proposición verdadera.
Demostración [Prosa]
Por el axioma de conmutatividad se tiene ~ P v Q → Qv ~ P (1), puesto que Q es equivalente a ~ (~ Q) por el teorema de doble negación, así en (1)
~ P v Q →~ (~ Q)v ~ P
La anterior proposición se escribe como (P → Q) → (∼ Q →∼ P) (2) debido a la definición de condicional. Por un razonamiento análogo Q∨ ∼ P →∼ P ∨ Q es una proposición verdadera por el axioma de conmutatividad y esto conduce al condicional (∼ Q →∼P) → (P → Q) (3) que al aplicar el teorema de conjunción entre las proposición (2) y (3) se escribe
(P → Q)→ (∼ Q →∼ P) ∧ (∼ Q →∼ P) → (P → Q)
Que según la definición del bicondicional se concluye (P → Q)↔ (∼ Q →∼ P).
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