Teorema: Medio Excluido

Teorema: Medio excluido

Si P es una proposición entonces

       1. P  → P es una proposición verdadera.
       2. ~P v P  es una proposición verdadera.
       3. P v ~P  es una proposición verdadera.

Demostración en prosa: 

Debido a que P es una proposición entonces por el axioma de adjunción se tiene que P  → P v P (1); mientras que por el axioma de idempotencia resulta el condicional P v P  → P (2); haciendo uso del teorema de transitividad entre las implicaciones (1) y (2) se obtiene que P  → P es una proposición verdadera y así el primer literal queda demostrado. Ya que está concluida la veracidad de P  → P, se hace uso de la definición de condicional con la que ~P v P   es una proposición verdadera y el literal 2 esta demostrado. Ahora bien, ya que ~P v P  → P v ~P (3) por el axioma de conmutatividad y ~P v P (4) es verdadera entonces aplicando la regla de inferencia Modus Ponendo Ponens (MPP) entre (3) y (4) se logra que P v ~P es una proposición verdadera. 

Teorema: Doble negación

Teorema: Doble negación

Sea P una proposición entonces
     
      1. P  → ~(~P) es una proposición verdadera.
       2. ~(~P)  → P es una proposición verdadera. 

Demostración en prosa:

Al usar el teorema del medio excluido ~Pv~(~P) aplicamos en este la definición de condicional y tendremos P→~(~P) que es el primer literal a demostrar.

Se usa de nuevo el medio excluido ~(~P)v~(~(~P)) en este aplicamos la definición de condicional, aplicamos  adición a la  implicación y tenemos Pv~P→Pv~(~(~P)). Se usa  medio excluido Pv~P, entre las   dos   afirmaciones anteriores usar   el teorema del MPP. Con el axioma   de   conmutatividad   Pv(~(~P))→~(~(~P))vP  aplicando el MPP se concluye   ~(~(~P))vP, para concluir usamos definición de condicional y  se tendra ~(~P)→P

Teorema: Conjunción

Teorema: Conjunción 


Si P y Q son proposiciones verdaderas entonces P ^ Q es una proposición verdadera. En forma esquemática

P

Q

____________

P ^ Q

Demostración [Prosa]

Las hipótesis en este caso es que tanto P como Q son verdaderas. Por el teorema de doble negación se tiene que P →~ (~ P) es una proposición verdadera que por modus ponendo ponens con P resulta que ~ (~ P) es una proposición verdadera. Con base en el axioma de adjunción se sigue que ~ (~ P) →~ (~ P)v ~ Q y por modus ponendo ponens con ~ (~ P) se obtiene que ~ (~ P)v ~ Q es una proposición verdadera, que por la definición de condicional se escribe como ~ P →~Q (1).

Si al condicional obtenido en (1) se aplica el axioma de adición a la implicación (respecto de la proposición ~ Q) se logra ~Qv ~ P →~ Qv ~ Q (2); como ~ Qv ~ Q →~ Q (3) esto por el axioma de idempotencia, entonces al aplicar la transitividad entre los condicionales dados en (2) y (3) resulta ~ Qv ~ P  → ~ Q (4) . Debido a que ~ Pv ~ Q →~ Qv ~ P esto por el axioma de conmutatividad entonces por el teorema de transitividad ~ Pv ~Q →~Q, que al aplicar la definición de condicional se tiene ~ (~ Pv ~ Q)v ~ Q (5)

La expresión (5) se puede escribir como ~ Qv ~ (~ Pv ~ Q) que por la definición de condicional Q →~ (~ Pv ~ Q), al ser Q una proposición verdadera entonces por un modus ponendo ponens se tiene que ~ (~ Pv ~ Q)  es una proposición verdadera, con base en la definición de conjunción se concluye que P ^ Q es una proposición verdadera, siempre que P y Q sean verdaderas. 

A partir del teorema de conjunción es posible obtener teoremas que hayan uso del bicondicional, ya que de acuerdo con la definición de este conector, P ↔ Q equivale a (P → Q) ^ (Q → P) y asì hacer uso de la regla de inferencia de sustitución. La primer consecuencia es que el teorema de doble negación se puede escribir en términos de un bicondicional.

Teorema: Doble negación-equivalencia

Teorema: Doble Negación-Equivalencia

Sea P una proposición entonces

P ↔~ (~ P)

es una proposición verdadera.

Demostración en prosa.

Al usar el teorema de la doble negación (1)P→~(~P)  y  ("2~(~P)→P  se une a (1) y (2) por medio de la conjunción, usamos la definición de bicondicional y tendremos P←→~(~P).

Teorema: Contrarrecìproco

Teorema: Contrarrecíproco

Sean P y Q  preposiciones entonces

(P → Q) ↔ (~ Q → ~ P) 

es una proposición verdadera.

Demostración [Prosa] 

Por el axioma de conmutatividad se tiene ~ P v Q → Qv ~ P (1), puesto que Q es equivalente a ~ (~ Q) por el teorema de doble negación, así en (1) 

~ P v Q →~ (~ Q)v ~ P

La anterior proposición se escribe como (P → Q) → (∼ Q →∼ P) (2) debido a la definición de condicional. Por un razonamiento análogo Q∨ ∼ P →∼ P ∨ Q es una proposición verdadera por el axioma de conmutatividad y esto conduce al condicional (∼ Q →∼P) → (P → Q) (3) que al aplicar el teorema de conjunción entre las proposición (2) y (3) se escribe 

(P → Q)→ (∼ Q →∼ P)     ∧    (∼ Q →∼ P) → (P → Q) 

Que según la definición del bicondicional se concluye (P → Q)↔ (∼ Q →∼ P).

Teorema: Simplificación

Teorema: Simplificación. 

Si P ∧Q es una proposición verdadera entonces P es una proposición verdadera y Q es una proposición verdadera. Esquemáticamente se escribe 

P ∧ Q 

_________

P

Q

Demostración en prosa: 

Se tiene (1)P∧Q como hipótesis y se busca llegar a P, Q.
Se usa el axioma de adjunción que dice (2)~P→(~Pv~Q) a este le aplicamos el contrarreciproco, aplicamos en este la definición de conjunción: (3)P∧Q→~(~P), usando el MPP entre (1) y (3)  y con la doble negación se concluye P.
Se usa el axioma de adjunción (4)~Q→(~Qv~P), aquí aplicamos el axioma de conmutatividad, seguido del contrarreciproco y quedara (5)~(~Pv~Q)→~(~Q); aplicamos a P∧Q→~(~P) la definición de conjunción , entre (1) y (5) aplicamos el MPP y después aplicando aplicando la doble negación  se concluye Q.

Teorema: Conmutatividad

Teorema: Conmutatividad

Sean P, Q proposiciones entonces

       1. P ∨Q ↔ Q∨P 
       2. P ∧Q ↔ Q∧P

Demostración [Prosa]

Por medio del axioma de conmutatividad se tiene que P ∨ Q → Q ∨ P y Q ∨ P → P ∨ Q, que por el teorema de conjunción se obtiene

P ∨ Q → Q ∨ P     ∧     Q ∨ P → P ∨ Q 

Con base en la definición de bicondicional se sigue que P∨Q ↔ Q∨P con esto se concluye la demostración del literal 1. Por el axioma de conmutatividad ∼ Q∨∼ P →∼ P∨∼ Q, que al aplicar el teorema del contrarrecíproco se tiene ∼ (∼ P∨∼ Q) →∼ (∼ Q∨∼ P) y así por la definición de conjunción resulta P ∧Q → Q∧P (1); un razonamiento análogo conduce a Q∧P → P ∧Q, que por conjunción con (1) se tiene 

P ∧Q → Q∧P ∧ Q∧P → P ∧Q 

De donde se concluye que P ∧Q ↔ Q∧P.