Proposiciones y Conectores
En lógica proposicional, las formulas bien formadas (f.b.f) son proposiciones, los cuales son enunciados que admiten un único valor de verdad, el cual puede ser Verdadero que se denota "V" o Falso y se escribe "F".
Las proposiciones se pueden denotar ya sea con letras mayúsculas latinas P, Q, R, etc... (Estás son las mas usadas) o colocando indices (indexar) cada una de ellas tales como: P1, P2, P3, ....Pn donde n puede asumir cualquier valor natural.
Tomando en cuenta que toda proposición tiene una cierta cantidad de posibilidades lógicas; es decir, para 1 proposición existe 2 = 21 posibilidades lógicas, para dos proposiciones son 4 = 22, para tres proposiciones 8 =23 posibilidades lógicas, ed decir la cantidad de posibilidades lógicas crece exponencialmente con base 2, por lo tanto, en el caso que tengo n proposiciones, entonces hay 2n.
Las proposiciones se pueden clasificar en dos grupos:
- Proposición simple: es cuando se encuentra solo un proposición.
- Proposición compuesta: en este se encuentran varias proposiciones unidas o enlazadas por lo menos un conector lógica ( v, ∧ ,→, ↔ ).
↔↔ ↔
Tautologias, Indeterminaciones y Contradicciones.
Tablas de verdad.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1, o la letra "V" a una proposición cierta y 0 ( cero) o l letra "F" a una proposición falsa.
Al elaborar una tabla de verdad, podemos concluir:
Tautología: Cuando se puede concluir que todo es verdadero.
Contradicción: Cuando se peude concluir que todo es falso.
Indeterminación: Es cuando no se presenta ni una tautología ni una contradicción,. Por lo tanto la "última columna" de su tabla de verdad estará formada tanto por verdades como falsedades.
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos ~, v , ∧, →, ↔, como: no, o, y, ...entonces, si y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Debemos tener en cuenta que las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1, o la letra "V" a una proposición cierta y 0 ( cero) o l letra "F" a una proposición falsa.
Al elaborar una tabla de verdad, podemos concluir:
Tautología: Cuando se puede concluir que todo es verdadero.Contradicción: Cuando se peude concluir que todo es falso.
Indeterminación: Es cuando no se presenta ni una tautología ni una contradicción,. Por lo tanto la "última columna" de su tabla de verdad estará formada tanto por verdades como falsedades.
1. Sistema formal
Un sistema formal es un lenguaje formal dotado de un mecanismo deductivo. Los sistemas formales induce la creación de teorías científicas o el apoyo para estas.
La construcción de sistemas formales induce la creación de modelos que describen de una mejor forma los fenómenos que aquellos mitos no logran explicar.
El sistema formal se divide entre:
1. Reglas de Formación
1.1 Todo elemento de P es una formula bien formada ( f.b.f)
1.2 Si α es una fórmula bien formada entonces ~α es una formula bien formada.
1.3 Si son α,β f.b.f entonces αvβ es una f.b.f
1.4 Solo serán f.b.f las cadenas que se generan al aplicar las primeras tres reglas.
2. Definiciones
Sean P, Q proposiciones, entonces:
2.1 Definición de la conjunción:
( P ∧ Q ) ↔ [ ~(~ P v ~ Q) ]
2.2 Definición del condicional:
(P → Q) ↔ (~P v Q)
2.3 Definición del bicondicional:
(P ↔ Q) ↔ [( P → Q) ∧ (Q → P) ]
(P ↔ Q) ↔ [ (~~P v Q) ∧ ( ~ Q v P) ]
(P ↔ Q) ↔ ~[~(~P v Q) ∧ ~(~Q v P) ]
En el sistema formal igualmente podemos encontrar el mecanismo deductivo, este mecanismo lo veremos en la siguiente entrada.
La construcción de sistemas formales induce la creación de modelos que describen de una mejor forma los fenómenos que aquellos mitos no logran explicar.
El sistema formal se divide entre:
1. Reglas de Formación
1.1 Todo elemento de P es una formula bien formada ( f.b.f)
1.2 Si α es una fórmula bien formada entonces ~α es una formula bien formada.
1.3 Si son α,β f.b.f entonces αvβ es una f.b.f
1.4 Solo serán f.b.f las cadenas que se generan al aplicar las primeras tres reglas.
2. Definiciones
Sean P, Q proposiciones, entonces:
2.1 Definición de la conjunción:
( P ∧ Q ) ↔ [ ~(~ P v ~ Q) ]
2.2 Definición del condicional:
(P → Q) ↔ (~P v Q)
2.3 Definición del bicondicional:
(P ↔ Q) ↔ [( P → Q) ∧ (Q → P) ]
(P ↔ Q) ↔ [ (~~P v Q) ∧ ( ~ Q v P) ]
(P ↔ Q) ↔ ~[~(~P v Q) ∧ ~(~Q v P) ]
En el sistema formal igualmente podemos encontrar el mecanismo deductivo, este mecanismo lo veremos en la siguiente entrada.
1.1 Mecanismo Deductivo
El mecanismo deductivo se divide entre axiomas y reglas de inferencias.
1.Axiomas
Para la lógica proposicional se establecen cuatro (4) axiomas que son:
1.1 Axioma de idempotencia: Sea P una proposición, entonces:
( P v P ) → P
1.2 Axioma de adjunción: Sean P y Q proposiciones, entonces:
P → ( P v Q)
1.3 Axioma de conmutatividad: Sean P y Q proposiciones, entonces:
(P v Q ) → ( Q v P )
1.4 Axioma de adición a la implicación: Sean P, Q y R proposiciones, entonces:
( P → Q ) → [ ( R v P ) → ( R v Q ) ]
Intuitivamente, estos axiomas no sonmás que la expresión del sentido que se atribuye a las palabra o "v" e implica "→" dentro del lenguaje matemático usual.
2. Reglas de inferencias.
1.Axiomas
Para la lógica proposicional se establecen cuatro (4) axiomas que son:
1.1 Axioma de idempotencia: Sea P una proposición, entonces:
( P v P ) → P
1.2 Axioma de adjunción: Sean P y Q proposiciones, entonces:
P → ( P v Q)
1.3 Axioma de conmutatividad: Sean P y Q proposiciones, entonces:
(P v Q ) → ( Q v P )
1.4 Axioma de adición a la implicación: Sean P, Q y R proposiciones, entonces:
( P → Q ) → [ ( R v P ) → ( R v Q ) ]
Intuitivamente, estos axiomas no sonmás que la expresión del sentido que se atribuye a las palabra o "v" e implica "→" dentro del lenguaje matemático usual.
2. Reglas de inferencias.
Las reglas de inferencia permiten deducir dichas proposiciones a partir de los axiomas.
2.1 Todo axioma es verdadero y puede figurar en cualquier paso de una deducción o demostración.
2.2 Toda proposición obtenida por la aplicación de un axioma es verdadera y puede figurar en cualquier paso de una deducción.
2.3 Modus Ponendo Ponens ( MPP)
P → Q
P
_________
Q
2.4 Sustitución si P ↔ Q se puede sustituir P por Q o Q por P en cualquier momento de una deducción o demostración.
Teoremas
Teoremas
Para deducir cada uno de los teoremas de la teoría que se va ha construir no existe un algoritmo, una estrategia o camino único, puesto que la deducción es un acto creativo donde se ponen en juego todas las herramientas que se tienen y la imaginación misma. Esas herramientas de las que se está hablando son las definiciones, axiomas, reglas de inferencia y los teoremas demostrados con anterioridad.
Para construir una deducción de un teorema se puede hacer en Forma de texto, también llamada Prosa o por medio de una estrategia llamada Afirmación - Razón. En el primer caso, la demostración se escribe como una narración en la que a través de las palabras se va hilando el conjunto de argumentos que llevarán a probar la verdad de la proposición a demostrar. En el segundo caso, se hace una lista de las deducciones y se escribe en frente la justificación o razón de lo que se va efectuando, a través de la utilización de los axiomas, definiciones, reglas de inferencia o teoremas ya demostrados.
Cada una de las definiciones, reglas de inferencias, axiomas o teoremas que se utilizan dentro de un sistema deben ser proposiciones que generen tautologías.
Para deducir cada uno de los teoremas de la teoría que se va ha construir no existe un algoritmo, una estrategia o camino único, puesto que la deducción es un acto creativo donde se ponen en juego todas las herramientas que se tienen y la imaginación misma. Esas herramientas de las que se está hablando son las definiciones, axiomas, reglas de inferencia y los teoremas demostrados con anterioridad.
Para construir una deducción de un teorema se puede hacer en Forma de texto, también llamada Prosa o por medio de una estrategia llamada Afirmación - Razón. En el primer caso, la demostración se escribe como una narración en la que a través de las palabras se va hilando el conjunto de argumentos que llevarán a probar la verdad de la proposición a demostrar. En el segundo caso, se hace una lista de las deducciones y se escribe en frente la justificación o razón de lo que se va efectuando, a través de la utilización de los axiomas, definiciones, reglas de inferencia o teoremas ya demostrados.
Cada una de las definiciones, reglas de inferencias, axiomas o teoremas que se utilizan dentro de un sistema deben ser proposiciones que generen tautologías.
Teorema: Transitividad
El teorema de la Transitividad o Silogismo.
Si P →Q y Q → R son proposiciones verdades entonces P → R es una proposición verdadera.
Tomado del Reeimpreso. Lógica y teoria de conjuntos. Diana, Juan Carlos.
Si P →Q y Q → R son proposiciones verdades entonces P → R es una proposición verdadera.
P → Q
Q → R
_______________
P → R
Demostración en prosa:
Teniendo (1)P→Q y (2)Q→R como hipótesis, aplicamos la definición de condicional en (1), a continuación se aplica la adición entre implicaciones y tendremos (3)(Q→R)→(~PvQ→~PvR) seguido de un Modus Ponendo Ponens (MPP) entre (2) y (3) y dará como resultado: ~PvQ→~PvR, repetimos de nuevo el MPP ; para concluir aplicamos la definición de condicional y tendremos la preposición a demostrar : P→R
Tomado del Reeimpreso. Lógica y teoria de conjuntos. Diana, Juan Carlos.
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