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Lógica proposicional

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular afirmaciones  sobre el mundo que nos rodea.

La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa proposiciones simples y luego proposiciones complejas, formadas mediante el uso de conectores proposicionales. Este mecanismo determina la veracidad de una proposición compuesta, analizando los valores de verdad asignados a las proposiciones simples que la conforman. 

Datos Curiosos

Proposiciones y Conectores

En lógica proposicional, las formulas bien formadas (f.b.f) son proposiciones, los cuales son enunciados que admiten un único valor de verdad, el cual puede ser Verdadero que se denota "V" o Falso y se escribe "F". 

Las proposiciones se pueden denotar ya sea con letras mayúsculas latinas P, Q, R, etc... (Estás son las mas usadas) o colocando indices (indexar) cada una de ellas tales como: P_1, P_2,  P_{3, ....}P_n donde n puede asumir cualquier valor natural. 

Tomando en cuenta que toda proposición tiene una cierta cantidad de posibilidades lógicas; es decir, para 1 proposición existe 2 = 2¹ posibilidades lógicas, para dos proposiciones son 4 = 2², para tres proposiciones 8 =2³ posibilidades lógicas, ed decir la cantidad de posibilidades lógicas crece exponencialmente con base 2, por lo tanto, en el caso que tengo n proposiciones, entonces hay 2^n.
Las proposiciones se pueden clasificar en dos grupos:

1. Proposición simple: es cuando se encuentra solo un proposición.
2. Proposición compuesta: en este se encuentran varias proposiciones unidas o enlazadas por lo menos un conector lógica ( v,  ∧ ,→,  ↔ ).

   ↔↔ ↔

Tautologias, Indeterminaciones y Contradicciones.

Tablas de verdad. 

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos ~, v , ∧, →, ↔, como:  no, o, y, ...entonces, si y sólo si, respectivamente.  La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento. 

Debemos tener en cuenta que las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema. 

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1, o la letra "V" a una proposición cierta y 0 ( cero) o l letra "F" a una proposición falsa.

Al elaborar una tabla de verdad, podemos concluir:




Tautología: Cuando se puede concluir que todo es verdadero.




Contradicción: Cuando se peude concluir que todo es falso.
Indeterminación: Es cuando no se presenta ni una tautología ni una contradicción,. Por lo tanto la "última columna" de su tabla de verdad estará formada tanto por verdades como falsedades. 

1. Sistema formal

Un sistema formal es un lenguaje formal dotado de un mecanismo deductivo. Los sistemas formales induce la creación de teorías científicas o el apoyo para estas.



La construcción de sistemas formales induce la creación de modelos que describen de una mejor forma los fenómenos que aquellos mitos no logran explicar.

El sistema formal se divide entre: 

1. Reglas de Formación

1.1 Todo elemento de P es una formula bien formada ( f.b.f)
1.2 Si α es una fórmula bien formada entonces ~α es una formula bien formada. 
1.3 Si son α,β f.b.f entonces αvβ es una f.b.f
1.4 Solo serán f.b.f las cadenas que se generan al aplicar las primeras tres reglas.

2. Definiciones

 Sean P, Q proposiciones, entonces:

2.1 Definición de la conjunción: 
( P ∧ Q ) ↔ [ ~(~ P v ~ Q) ]

2.2 Definición del condicional: 
(P → Q) ↔ (~P v Q)

2.3 Definición del bicondicional:
     (P ↔ Q) ↔ [( P → Q) ∧ (Q → P) ]
     (P ↔ Q) ↔ [ (~~P v Q) ∧ ( ~ Q v P) ]
     (P ↔ Q) ↔ ~[~(~P v Q) ∧ ~(~Q v P) ]

En el sistema formal igualmente podemos encontrar el mecanismo deductivo, este mecanismo lo veremos en la siguiente entrada. 

1.1 Mecanismo Deductivo

El mecanismo deductivo se divide entre axiomas y reglas de inferencias.

1.Axiomas 

Para la lógica proposicional se establecen cuatro (4) axiomas que son:

1.1 Axioma de idempotencia: Sea P una proposición, entonces: 
( P v P ) → P

1.2  Axioma de adjunción: Sean P y Q proposiciones, entonces:
P → ( P v Q) 

1.3 Axioma de conmutatividad: Sean P y Q  proposiciones, entonces:
(P v Q ) → ( Q v P )

1.4 Axioma de adición a la implicación: Sean P, Q y R proposiciones, entonces: 
( P → Q ) → [ ( R v P ) → ( R v Q )  ] 

Intuitivamente, estos axiomas no sonmás que la expresión del sentido que se atribuye a las palabra o "v" e implica "→" dentro del lenguaje matemático usual. 

2. Reglas de inferencias.

Las reglas de inferencia permiten deducir dichas proposiciones a partir de los axiomas.

2.1 Todo axioma es verdadero y puede figurar en cualquier paso de una deducción o demostración.

2.2 Toda proposición obtenida por la aplicación de un axioma es verdadera y puede figurar en cualquier paso de una deducción. 

2.3 Modus Ponendo Ponens ( MPP)

 P → Q

P       

_________

Q

2.4 Sustitución si P ↔ Q se puede sustituir P por Q o Q por P en cualquier momento de una deducción o demostración.